si f(x) = 4 m= — Intervalo semiabierto De manera similar, [a, b) se define así: [o, b ) = | a : G # 2 / a < * < b ) Gráficamente, [a, b) -«-------------------- » ............... e j) ± 2 a 12 d) c) Mucho tiempo después Leibniz utilizó símbolos matemáticos en su estudio y la desarrolló com o un instrumento de la matemática. dy fi TV •¿7~==v ( í + ~ ) —4, siparaf = l , y = 0 ; í > 8 1 P y q En las proposiciones abiertas el valor de verdad, denominado conjunto de verdad, es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen que la proposición sea verdadera. 1 + 4 (-2 ) 4+4(6) 1 0 0 -2 8 1_ En general, podemos decir que una cantidad Q que crece de acuerdo a una ley de la forma Q(t) = Q*aht experimenta un crecimiento exponencial, en este caso, Qo representa la can tidad inicial, a es la base de la función exponencial y k es una constante posi tiva. • 2\fx—2\Jx+ Ax - •••_ • -— WebEl digital Fundamentos de matemáticas ha sido registrado con el ISBN 978-958-775-110-9 en la Agencia Colombiana del ISBN. integral francés '- 1 -2 .-3 a) 2 Vx jr*y + 182 ~20X P A ^ p +-*■ contradicción + y/lTx *+ 5 y = V5 —a V (por 5.1) (por 5.3) (por 5.1) Ejemplos 1. [uv] = (3a:2 + 19) (-1 2 a r 3 + 3a:2 ) + (6ar2 + a:3 ) (6a:) = 15o4 + 57a:2 - 228ar3 f p) Luego P(a) = Q(x) • S(x) 12a3 + 33a2 - 2a + 21 = (12a2 — 3 a + 7) (a + 3) Por lo que (12a2 — 3a + 7) y (* + 3) son factores de 12a3 + 33a2 ■2a+ 21. x2 + 5 t) 5.1 —2 + 7 + 7 que se lee “ raíz n-ésima de a” 264 40 1 Expresamos y así antes de derivar. c) [f(x )]d x = f(x )+ C 7) x 2 — 1 es el m. c. d. de JC+ 1 x+ b) ( - « , , - i] u [ 6 , - ) f) 1) i 177 3 Si a y &son dos números reales, entonces (—a) X ( - 6 ) = o X 6 Teorema 6 13 De manera similíir completamos la tabla para el ifactor « - * 2 , así: -6 M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S = d) Determinar las regiones de concavidad (convexidad). 356 = * 3 A continuación enumeramos algunas propiedades del valor absoluto. Par ordenado, 36 Parábola, 140, 348 Como los intervalos son, com o se dijo inicialmente, conjuntos de números reales, las operaciones de intervalos son operaciones de conjuntos: unión, in tersección, complemento, etc. Related Papers. dy ECUACIONES = [1050+ 0.35(1500)] (80) = (1575)(80) = 126,000 pesos por mes -2 343 (4.3) ->■ 4 g) 2 * — ( 2 x + 1)(8jc + 3) — (4jc2 + 3jc) (2) ó Ingreso marginal: R' (x) = —— dx Podemos interpretar el ingreso marginal, como el ingreso adicional por cada unidad demandada de más, cuando esta demanda adicional es muy pe queña. b) Eje mayor paralelo al eje Y (y -fe )2 d) [3 x 2 — 2 x — ( j c 3 )] dx El ingreso R, obtenido al vender x artículos a p pesos es R = xp La parábola siempre cortará al eje Y; para determinar el corte hacemos x = O enP(x). Si un día después hay 95 moscas, a) - 1 216 p Resuelva los siguientes ejercicios sobre variables relacionadas (razón de cambio). i V? 2 0 2. a) e) (<9, -r) h) véase a) - 60,000 jc2 T = 50 CAPÍTULO 3: Polinomios... (92). 4 f) y f : j 1l El conjunto solución es (— “ , 2) ^ (—10, _5_ ,. ' 18 181 x —3 Construir gráficas de algunas funciones. Ll (4) = (jc_1 )4 (por 5.2) = ar1 ECUACIONES 9.3 1 X 5*4 Hoffmann L. D. Cálculo para ciencias sociales. 0 Si la población de la Tierra estaba creciendo exponencialmente, ¿cuándo alcanzaría la población el límite teórico de cuarenta mil millones? Reglas de integración ja f(x) dx = a J f(x) dx, a constante f [ f ( x ) + g(x)] dx = j f ( x ) d x + f g( x)d x 2 Fundamentos de matemáticas. Para ajmdar a recordar su fórmula, tenga en cuenta que el denomi nador es el producto de los enteros desde 1 hasta fe. (3x - l)^9x2 + 3x + 1) (x + 5) (x* - 5x + 25) (* + 3 + x)Vft+ 3 —x) x(x + 4y) (2x —y) y ( x - 3 y ) ( x + ^y) (x —2y + 5 )(3 x —y + 4) Resolviendo se obtiene: 1 1 3 [ : implica que * + 4 > —6 ó inecuaciones con valor absoluto PAq A 2 21 La letra griega A (delta) representa en todos los textos de cálculo el incremente o cambio en una variable cualquiera: Ay: cambio en y. Sustracción de a en ambos miembros U 3 Fundamentos de matemática. Introducción al nivel universitario [Capítulo 1] Item Type info:eu-repo/semantics/bookPart Authors Egoavil Vera, Juan Raúl Citation Egoavil, J. (2014). Fundamentos de Aritmética. En Egoavil, J., Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario (pp. 1-16). 3 = 1400 WebDownload Free PDF. -1 10.5 Gráfica de una función 154 Lím (x? dy dx |0} NEGATIVOS M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS POLI N O M I O S V F U N C I O N E S P O L I N O M I A L E S Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable, utilizando dife rentes métodos. Ejemplos: a) x i e) f) 8. L A I N T E G R A L 327 Antes de aplicar estas reglas es conveniente simplificar las expresiones pa ra facilitar los cálculos. 10. q — abierta hacia abajo 40 «n Y_ 7 El siguientediagramailustrael procedimiento aseguir parasolucionar cualquierecuacióndegradomenoroigual a2. a) I — dic = In x + c b) Para determinar si la parábola corta el eje X debemos resolver la ecuación ax2 + b x + c = 0. Una ecuación es una igualdad que contiene una o más cántidades desconoci das, denominadas incógnitas. + 2. 4x2 13+ V c) Sic = 1; a* = 1 para todo x. Véase Figura 11.2. Introducir a los estudiantes en los fundamentos de las matemáticas. ¿Es * conmutativa en Í2? 180 AR f a Ejemplo 28 Dadas las ecuaciones de oferta y demanda de un producto, determine el pre cio y la cantidad de equilibrio de dicho artículo. 2y = j y Para realizar la suma algebraica de fracciones es necesario que éstas tengan un común denominador. *~2 implica q u e 3 No tiene respuesta en R\ b c) Como u(*) = !? 4 -a y = --------3 _1 i) 1_ 2 (a + b)n = a” + -2 luego un ángulo de un radián mide aproximadamente 57.3°, algo menor que Es conveniente denotar la medida de un ángulo por el símbor lo 6; es decir, s 6 = — r Como s y r son longitudes, su cociente no tiene dimensiones; además, la medida en radianes no depende del círculo utilizado. Localizando los puntos en el plano cartesiano, tenemos: Multiplicación y división de fracciones g) y R2 La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas. luego la función es efectivamente una función de probabilidad con tinua. (por 5.1) fau d u = J De los tres casos anteriores podemos concluir que para calcular el lími te de una función basta con remplazar el valor de a en f(x), siempre que ésto sea posible; en caso contrario, transformamos algebraicamente f(x) en o 1x1 -x si x < 0 a2 (a2 + 2a + 3) (\ fx ) - Es difícil valorar la importancia de la construcción de gráficos en matemáti cas. — Ejemplo 13 0 Sea Es claro que un factor de Q(a:) es tambiénun factor de P(x), por tanto una raíz de Q(x) es también una raíz de P(x). + M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S O 5 2* —4 —x + 7 c) Expresiones algebraicas 0 a Lovaglia. ln B = k t como para t = 0.25 (un cuarto de hora), B = 2, entonces •--------------------b 3) El signo menos (—) aparece por ser el signo del coeficiente mayor. Au f) 0 ,3 y / 5 -y / 2 y . a Figura 8.3 Intervalo abierto a la izquierda. ’ 7T + k luego, A= Paso 3: A ' y + T , =1 Demostración a c = b c, como c ^ 0,— existe, c (10-15)+ ( 2- 1 0) + (6-30)_ C 3751 350J 2 X 2 z - 1=0 _ + 20*3 + 2 5 *2 - 20 0 *+ 150,000 1 Establecemos una correspondencia exacta entre el eje X y los números reales colocando el cero en 0, los reales positivos a la derecha de 0 y los reales negativos a la izquierda. y f) La Matemática (f • g) es continua en c. es continua en c, sig(c) ¥= 0. caso, si queremos encontrar una, asignamos un valor cualquiera a una de las variables de la ecuación anterior, y obtenemos el valor de las otras así: Sea y = 1, entonces 3(1) + 7 = 3 z luego z = —— O remplazando en (1) = 0 procedimiento. ... Ejemplo 17 2 + x, Sea f(x) 3 o Figura 3.2 La recta numérica. Calcule el área de la región limitada por las curvas/^jc ) = g(x) = 3 jc + 3 . Una proposición cuantificada también tiene su valor de verdad, verdade ro o falso. 9.6 3 + 3 ii) Producto de los coeficientes El coeficiente del producto es el producto de los coeficientes de los fac tores. b — — c> a bs x 2 y4 dx En el plano cartesiano es posible representar un par ordenado de núme ros reales (x, y) en donde x representa la distancia del punto al eje Y, y y re presenta la distancia del punto al eje X . - 84jc2y + 5JC2y + 3a2y - + 92.x2y ^ En este caso 92 es el resultado de sumar 84 + 5 + 3. Halle la ecuación de una recta tangente a la curva y = x 3 y paralela a la recta 3x — y + 1 = 0. 1 1 1 Definición de 1 Resuelva en x la ecuación dada: a) 2 = e0 06* b) Encuentre los precios de los cigarrillos en Suburbia. *=- a<0 b2 —4ac > 0 Ecuación pendiente-intersección Esta intersección es con el eje Y. - [1 ,2 0 0 ,0 0 0 + 0.1*2 ] r . ' Algebra y trigonometría con geometría analítica. a U a 22 ~ ' q ( jc ) M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S t 23 x 1 f Se resuelve una de las ecuaciones para una de las variables en términos de la otra y se sustituye la variable por esta expresión en la otra ecuación. = 4 ( 3 ^ 3 “ 1) + O 3 b) (2.1) + (0.3) El teorema del binomio proporciona una fórmula para el desarrollo de (1 + x)" para cualquier entero n > 0, es decir, n{n — 1) _ (1 + x)" = 1 + n x + --------------- x 2+ 1-2 0 Observe que aunque ini'cialmente el numerador era un trinomio, simple mente asociamos para conformar un binomio. * 2 + 4x + 3 " Y 2 1 -6 b) Si decide invertir el triple de lo que invierte en el ne gocio que le producé el 1%, que le produce el 3%, ¿cuáles son los be neficios obtenidos ahora? tasa de cambio instantánea de la utilidad. Ejemplo 6 Cierta fundación debe invertir 6 millones de pesos en dos tipos de bonos que pagan dividendos anuales del 8% y 9% , respectivamente. + 3 a) y Una manera más formal de definir una operación binaria es la siguiente: Sea S = { a, b, c , . son operaciones binarias en S. L 3X Ejercicios y problemas T Multiplicando por —28 la segunda fila y sumándola con la tercera, obte nemos el cero de esta segunda columna, así: 1 0 g( 2) y Los siguientes ejemplos ilustran este caso 1. , , (tang u) = sec2 u = 2. a) 15x4 - 51x3 + 30x2 + 24x b) 10m2n —4mn2 + mn—n2 —6m3 c) xy3 + x2y2z + y3 + xy2z + x2y2 + x3yz + xy2 + x2yz d) -5 x 6 + 18xs - 3x4 - 28x3 - 14x2 + 24x + 24 e) 12a7 + 8a4 - 22a462 + 6a64 + 3a36* - 12a62 + 263 - 65 f) r3s2 - 2r3s + 6r> + 3r2s4 - 6 rV + IS rV + s6 - 2 s s + 6e4 g) 10x6 —x 5y + 4x4y2 + l l x 3y3 —7x2y4 —2xys + y6 h) 4ae -6 a * 6 +3a462 - 6 a 363 - a 2&4 + 2a6s - 6 * 3. a) a4 + 3a2 - 4 0 b) x 2 - 2 c) 225 + 30x2ys + * V ° d) a4b2 -2y/3a2b - 3 b) Derivada de una función constante si / ( jc ) = k, entonces Sea x = y, luego x2 = x-y x 2 —y 7 = xy —y 7 ( x - y ) ( * + y) = y ( x - y ) x+ y = y ... (b * Pasos para la obtención de una gráfica 1. En 1973,utilizando un computador IBM CDC 7.600, Jean Guillond y Martine Bouyer llegaron a establecer un millón de cifras decimales para tt sin encontrar un período. 11) Ejemplo 7 Calcule el residuo al dividir P x) = 3jc2 + 5x — 28 entre S(x) = x — 3 R (x) = P (3) = 3(3)2 + 5(3) - 28 = 14, luego el residuo es fí(jc) = 14 Ejemplo 8 Factorice P(x) = 3a3 — jc2 + 20x + 288 de la forma P(jc) =» ( j c + 4) • Q(jc) Solución Como P ( - 4 )= 3 ( - 4 ) 3 - ( - 4 ) 2 + 20 (—4) + 288 = 0 entonces la división es exacta. m= = V Solución: Para t = 5 V(6) = V(5) = 1,400,000 V(5) = 1,213,800 Ax Se dice que dos o más términos son semejantes si difieren únicamente en su coeficiente. ¡O (no existe) Websobre la naturaleza de los objetos matemáticos describimos: Las teorías referenciales y operacionales sobre el significado, así como el marco general de la semiótica y filosofía del lenguaje como punto de entrada al estudio de los objetos matemáticos. x = 4 * = 0; “ [ (4o2 - 3b2) - (7ab + b2) ] - (5o2 + 6ob + 10b2) 60 L A IN T E G R A L 2 Luego se cumple que A + B = B + A. a ( 5 ) y (6) p = 2* + 1 Recuerde que: 1. Resumen y = F(x) +02 — o i y = F(x) + c 2. y = (3a? Debieron pasar muchos siglos para que el hombre obtuviera un concepto abstracto de número. 1 f(x) = + oo T 4. 4 M A T E M A T I C A S U N IV E R S IT A R IA S 370 5. 8.5 f) g) R(x) = co “TT~> dxr 43 24 b) Para dividir dos polinomios, se deben realizar los siguientes pasos: 1. Si no existe; x = 2, x = —1 0 Matemáticas Generales. íí e) vTT 9 dx En general, decimos que para elevar un cociente a una potencia n, se ele va tanto el numerador como el denominador de la fracción a dicha potencia; ésto es: para b # 0 a" (° y (5.4) \b) bn e) Observe cada uno de los siguientes casos particulares: i. Además en la figura podemos ob servar que los triángulos son semejan tes, por lo cual es posible realizar una razón entre sus lados correspondientes, así: _5_ 21 x G R / a < J c < b } Gráficamente, al intervalo (a, b ) lo representaremos así: o — 8 = 0 JC Igual que en los problemas de máximos y mínimos, en los de variables relacionadas existe un procedimiento a seguir para obtener la solución: Pasos a seguir para solucionar un problema de variables rela cionadas: 1. Ax-+0 Lfm c) f(x) = V * 2 - 5 x + 6 d) f(x) = + f ( x) -0.125 - 1 b33 L A D E R IV A D A Calcular la probabilidad, dada una función de probabilidad continua. 4. Resuelva los siguientes problemas: ' IN E C U A C IO N E S a i3 Dividiendo entre ■-2 la tercera fila. —2*a'62* 4x2 + 5x — \/~2y2 3xyz + 2x2y 4x2y 3 + 6x? La operación * es una operación binaria en S si, y solamente si, a cada par ordenado (a, ó)7, donde a y ó son Larson-Hostetler. Ejercicio 7 a'1 es el único elemento de S que verifica estas igualdades. 35S = |-7| = - ( - 7 ) = 7 U(x) McGraw-Hill. V g 9x + 20x 5 29x 5 M A T E M A T IC A S U N I V E R S IT A R IA S En los siguientes problemas obtenga el cociente Q(a) y el resto ü (a ). no existe ) (j c < p M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S Figura 14.2 vr 2 -7 Proposiciones lógicas U) f (x ) = x = a6' 2 = a4 13 POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES m-* rr Ejemplo de aplicación 1 ( * — * 1 ) ; JCi * Una función F es una antiderivada de una función f si para todo x G D f F '(*) = f(x) *" d * = b> f B = Observe: — A medida que j c toma valores cercanos a —3, los valores de y se hacen cada vez más grandes (se alejan cada vez más del eje X) . d — dy = 3 Un ángulo de 180° es igual a dos ángulos rectos, luego mide n radianes. 6. 1■■ -o2 8) En términos generales, el total de combina ciones para una tabla es 2" , en donde n es el número de proposiciones. máximo = (v 'á r 5. 1x de R$ 329,00 À vista. 6x2 + 3 5(2x + 3x) Al proceso de encontrar la antiderivada de una función por medio de la “ operación” integración, se le denomina integrar; éste es uno de los procesos más complicados del cálculo, pero nosotros trabajaremos con funciones cuya integral es fácil de calcular. V 8 expresión factorizada c) f g) Si 2 + 2 = 4, entonces no es cierto que 2 + l = 3 y 5 + 5 = 1 0 h) 2 + 5 = 7 si, y sólo si, 3 + 6 = 9 i) 0 + 2jc/n (J C 3 dx ' 1. Ejemplo 9 tjfp- -- ^ Sea f(x) kB = 2B = En todos los casos lo que se da es una orden. Sean ¿Cuántos pares de zapatos de cada marca se vendie ron? 2 PJ Relaciones, 202 entre rectas, 348 Secante 6, 344 Seno 6, 344 Signos de agrupación, 60 Sofisma, 27 Subconjunto, 4 Sustitución, 122 Tablas de verdad, 24 Tangente 6, 344 Tangente a una curva, 303 Tasa de cambio, 243 Tasa de interés, 225 Tautología, 25 Teorema fundamental del álgebra, 143 Teorema de Pitágoras, 49 Teorema del binomio, 70, 339 Teoremas sobre ecuaciones polinómicas, 143 Teorema del factor, 145 Teoremas sobre los números reales, 45 Términos semejantes, reducción de, 59 Tricotomía, ley de la, 43 Trigonometría, 341 Trinomio cuadrado perfecto, 66 Utilidad, 113 marginal, 264 media, 264 Valor absoluto, 49 propiedades del, 50 Variables relacionadas, 299, MATEMATICAS UNIVERSITARIAS Cuarta edición Cari B. Allendoerfer Profesor de Matemáticas University o f Washington Cletus O Oakley Profesor y jefe del departamento de Matemáticas Haveford College, Matemáticas Universitarias, 4ta Edición - Carl B. Allendoerfer, Allendoerfer-fundamento-de-matematicas-universitarias-pdf.pdf. c) L A IN T E G R A L 3 1 7 d) l “ 2 5 -1 d) 3-2 + (—2)3 e) {x/a/&) + ( V F ) Calcule la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logarít micas: 1 a) y = e* b) y -1 'Vp V q = 10.2 Producto cartesiano IX b —d 2 Identificar correctamente los diferentes tipos de matrices. e) La firma posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora. b) Si la política de la tienda es hacer un pedido en el momento en que tenga en depósito 336 artículos, ¿en cuántos días deberá hacer un nuevo pe dido? Realice el gráfico. |x + 4 |> —6 A L G E B R A BASICA 9.8 1 r - — = sec 9 x b) m Si A es una matriz cuadrada de tamaño nXn y existe una matriz B de tamaño nXn tal que A B = B'A = /.entonces decimos que A es invertible21 y B se llama la inversa de A . / ( jc) , x4 — lia:3 + 9x2 — 1^ com o 1 para que la fórmula (4) siga siendo vá lida incluso en los casos fe = 0 y fe = n. Por ejemplo, si fe = n, (4) es % n! : + y) = eos x eos y — sen x sen y -2 25 ) E+ F = 0 Se suprimen los signos de agrupación. Eje paralelo al eje Y — abierta hacia arriba [( Dichas combinaciones se logran mediante las operaciones suma, dife rencia, producto, cociente y composición de funciones, que se definen así: 1. «31 o , Pourcel Edwin J. y Varberg Dalí. h( 12) = 122 + 3 = 147 El dominio de h es el conjunto de los reales positivos. (a”) 7” c) 1+ ]= 42 Además, esta función tiene una asíntota vertical en * * —1. La producción media decrece rá en 4 naranjas por árbol adicional plantado en la misma extensión. 2X3 2(1) * = 2 ± V 4 + 192 x . 7 Figura 10.1 La relación y = ± y/HT jc 13 Capítulo 2 1. Capítulo 11 1. e dv Al remplazar se obtiene la expresión— , que no representa ninguna inde terminación ya que corresponde al cociente entre un número cada vez más cercano a cero y un número cercano a 7. -9 0 Caso 1: División de una cantidad en dos partes Trataremos aquí todos los casos en los que una cantidad inicial “ C” , sé quie re repartir en dos partes. -(3 x 2 -2x)]d x + o radianes tal que h(x) = x, entonces: 2. 3o3 punto de inflexión 140,000 5 y tratar de llegar a la conclusión q por medio de las leyes de las proposiciones, así. C'(10,000) = 0.2 (10,000) = $2000 d) jR(jc) = x • p R(x) = x En la ecuación anterior, la expresión a la izquierda de la igualdad se de nomina la integral indefinida de f, f(x) se denomina el integrando y dx indica que x es la variable de integración; mientras que en la expresión de la derecha c se llama la constante de integración. 10 a t.i 10 - > - es equivalente + Trace las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x 4- — 3 b) y = —2.x + 5 c) d> (x+ ! ) Como -> Cuando dentro de un signo de agrupación están incluidos otros, la supre sión de los mismos se realiza de adentro hacia afuera, así: 8a: + ( —5a — [—m + 3 a — (—9* — m — a)] } = 8jc+ { —5a — [—m + 3a + 9* + m + a ]} = 8jc + |—5a + m — 3a — 9x — m — a\ = 8jc — 5a + m — 3a — 9a: — m — a Ejemplos Suprimir los signos de agrupación en la siguiente expresión: 3a; — (2ay — 3y2) + | y — [2xy — (x2 + 3y) + 2y2]J = 3a: — 2ay + 3y2 + 1y — (2*y — — 3y + 2y2 ]} = 3a: — 2ay + 3y2 + j y — 2ay + x 2 + 3y —2y2} = 3a: — 2xy f 3y2 + y — 2ay + x 2 + 3y — 2y2 4.4 + 2 A* (6.3) i) 296 d a) La cantidad restante después de t años de cierta sustancia radiactiva viene dada por una función de la forma Q ( t ) = Q o e ~ 0 003t. g) A continuación detalla remos los diferentes intervalos con los que se trabaja usualmente en mate máticas. p « -» q jc— 3 WebLa Licenciatura en Ingeniería en Sistemas Computacionales que te convertirá en uno de los profesionales más demandados. 7 . 6 x 2+ + 57 3 - 3 ± V 9 + 4(4) (8) ---------------------------------8 —2 x ( x + 4) (xy2) + La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica preposi cional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura. ) 72 Por medio de esta relación podemos asociar los elementos de A y B, de tal forma que a cada x que pertenece a A, le corres ponda un elemento de B definido como su raíz. 7 •6 • 5 • 4 ! 222 Esta desigualdad significa, geomé tricamente, que x está a más de una unidad del origen a la derecha o a la iz quierda, como aparece eq la Figura 8.9. 3.10 Resumen i CAPÍTULO 4: … M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S . luego (x — 10) (x + 3) > 0, cuya solución es {— « , —3] ^ [ + 1 0 , « J'M^ 2 } Observe que se 8.7 + 4X2 - 1) xx--*■ 4 2. 106 , d) y = y' = En esta parte del capítulo ilustraremos un método que permite entre otras cosas encontrar la solución de un sistema de ecuaciones. Ejemplo 6 1. F U N C IO N E S es la inversa de A. Ejemplos: A = no es una operación binaria en R porque (a, 0) -> (a + 0) no está defini da. 21a1 b) El estado financiero de la cuenta del señor Pérez durante 3 días es: RETIROS 8n_ ’ 2.2 2 b) Obtener la primera derivada y de los posibles puntos críticos. (1.1) + (-3 .3 ) (0.1) + (-1 .3 ) 3. NUM EROS 2. 2 Solución: haciendo uso de la proporción anterior, 30 2jcy = Ejemplos: 1. Gráficamente, s Ejemplo 7 Resuelva V Obtener las asíntotas de la función, si existen. Este proceso de completar el cuadrado se utiliza para resolver ecuacio nes cuadráticas, sólo que en este caso el cuadrado se completa con el término independiente. d) |2* + 4 |> 9 e) f) 3 b) r Algunas mujeres son altas Las respectivas negaciones serían: 1. ¿Es * una operación binaria en A ? 0 —2 ( x + 1) (* + l ) ( x - 1)2* -1 * ( * — 1) 4.9 lím F(x) = 9 x->3+ 1 (100,000* — x 1), luego Por lo que al cabo de n horas, la población total será: > , « 100,000 ( 1 + ^ ) “ luego, al cabo de n períodos de tiempo, una población de p individuos, que crece a una rata de r % , se convertirá en: 10 30 Una cervecería elabora dos tipos de cerveza: clásica y tipo exportación. 1 0 y ¿Cuántas unidades produce cada uno cuando trabaja sin compañía? 341 90 3. — jc3 + 4*1+ 6 [4, 8) n [6 ,1 1 ). Derivar la ecuación anterior en forma implícita. x < —3 De hecho, no todos los polinomios tienen raíces racionales, por ejemplo, la raíz de jc2 + 3x + 1 = 0, es -3*^ 5 ------ , que corresponde a un número irracional. = U(X)/x, 3 f\x) X x —5 I f \ 1 Certificado de 160h. d) f (a) F U N C IO N E S "l 2 En la si guiente figura se ilustra la situación. o y'(jc) = y'(u) ♦ u '( jc) M A TE M A TIC A S U N IV E R SITA R IA S 2 e) para la obtención del área de algunas regiones planas, y tema obligatorio de casi todos los textos. ¿Por qué no es la sustracción una operación binaria en el conjunto de los enteros positivos? Entonces te nemos, 28 — x = 2x + 1 —x — 2 x = —27 *= 9 luego, y = 28 — 9 = 19 Esto significa que el precio de equilibrio es 19 y el número de artículos es 9. L e) Un importador de café brasilero estima que los consumidores locales 4.374 comprarán aproximadamente D(p) = - '■ ■ libras de café por semana P2 cuando el precio sea de p pesos por libra. I I | 17. ln\ = 0 c) 3 = 2 + 5 e~4r d) —2 ln x = b t e) —ln x = — + C 50 f) Si Ax representa un incremento cualquiera sobre x, entonces Ay = f ( x + Ax) — f(x) Véase Figura 12.1 e) Si a > b y c > 0, entonces a/c > b/c f) © 4 (4fe2 + 3fe) — 7 = 1 4fe2 + 3fe — 8 = O , fe - I I 4. x-+a b23 Hacemo notar que esta propiedad se aplica cuando el exponente corresponde a la va riable. Ejemplos x2 — 1 X + y/x + 6 + x — 6 = 0 b / b2 — 4ac 2a ~ " V 4a2 lím F(x) = 9 *-►3- ces la derivada de y es: (2x7 + 1) (1) - (1 + dx [ i V 2 c) Distancia focal del centro 0 a uno de los focos C = V aa + 6* d) Excentricidad e e = — > 1 a 6 En un capítulo posterior mostraremos su utilidad. 1 e x dx = e x + e dy p Ejemplo 8 1. 0' 8. Tema 02: Sistema métrico decimal ( PDF ). 15 10 Sumando —x en ambos miembros, obtenemos: 3x + 5 + ( - * ) < x — 7 + (—x) 2x + 5 < —7, sumando ahora (—5) en ambos miembros, obtenemos 2 x < —12. Como el polinomio Q(ac) = x 1 + 3.x + 2 es cuadrático, utilizaremos la factorización para encontrar las otras raíces, así: x 1 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) por lo que las raíces de P (x) son: p 202 -5 a2 + 4 1 s( m s o) 314 _ A 2 2. —ad —be J a4 X a3 X a = a4+3+1 = a* Observe que (a2 63) X a3 = (a2 63 ) X (a3 6o) = aí+3 • 63+0 = a5 63 iv) Finalmente se reducen los términos semejantes, si los hay. 2. Cociente de los signos, como en el producto. (1 + >fx) a3 y Ejemplos ka 1 ) ----' kb después, dividiendo ambos miembros entre 4, obtenemos otra ecuación más sencilla aún; x= 2 (7.6) ó x — 3 < ( « + 1) 2x> 2 Capítulo 9 1. a) Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados de fine una función y en tales casos especifique el dominio y el rango. Observe que este incremento habría podido obtenerse así: Au Cuan do el vino envejece, su valor crece, pero finalmente el vino pasará su me jor momento y su valor decrecerá. 127 Sin embargo, podemos calcular 2 + 5 + 8 agrupando (2 + 5) + 8 2 *1 =8 *2 = —6 c) -1 1 + 5jc) (3JC3), con u = / ( jc) = 2x2 + 5x y y = g(:c) = 3X3, du dv , . 225 d dx fea13 L = 0 Por lo anterior, debemos utilizar com o regla continuar el procedimiento de división sintética con una misma raíz, hasta que el residuo sea diferente de cero. - 1 4 y 2 = 7 * 4 -83¿^ - 7 6 8 a X ab = — X 0, por R3 y Teorema 2 a 9Un error frecuente consiste en considerar que \ J x 2 = ± X . - 4 n xi 5. a) y = 2xex Si el interés se capitaliza sólo una vez al año, el saldo total al final del año será de: ~d 1 -r Funciones de valores vectoriales. 4" -5 —6_ Resuelvalassiguientesecuacionesdiferenciales: a) —dy = í2+ 3í, siparaí =0, y =2 dy =\J,-xy - 3, siparajc=0, y= 3 b) --dx dy Decide entonces preparar él mismo la carne, teniendo en cuenta que para cada hamburguesa necesita sólo $60 de carne, pero para -0 .0 3 6 7 6 Click here to sign up. Encuentre el producto de las matrices dadas, a) [ 1 2 b) d) ( 0 , 5 ) y ( - | - , l ) 2. por consiguiente, el conjunto solución es S * { 21 En el ejemplo anterior realizamos el siguiente procedimiento: transfor mamos la ecuación inicial (1) en otra cada vez más sencilla, pero siempre equivalente, hasta obtener la solución (3). f -i b) ¿Cuál debe ser el precio de cada artículo para obtener ingresos de g) ln x = — (ln 16 + 2 ln 2) 3 h) ln x = 2 (ln 3 — ln 5) i) - 1 ) 3. ac + be + ad + bd = (ac + be) + (ad + bd) = c(a + ó) + d(a + &) = (c + d) (a + 6) 4. (i) 5 1880 b) 9,305,000 c) Lím P(t) = 10 millones — AR Costo marginal 3. 4 _1 2 Ejemplo 23 La siguiente ecuación, C(x) = 1,200,000 + O .lx5, representa el costo para producir x unidades, que determinada fábrica vende según la siguiente ecua ción de demanda: x = 100,000 — 5p a) ¿Cuál es el costo promedio de producir 10,000 unidades? p) 3x? . El conjunto A es el dominio de la función. bmn _j L A I N T E G R A L 313 c) i) y j) Hallar t. Para solucionar la anterior ecuación, dividimos ambos miembros de ls igualdad entre po, asi: 3po _ po e 004* po f a) _ Ct = lim (1 + — 7— f n- ~oo \ 100 n j Sin embargo, existen procesos que permiten trabajar directamente con las funciones implícitas (derivación implícita, por ejemplo)23, sin tener que obtener la función explícita. 0 jc+ En este caso, sea x el costo de producir un artículo, luego (2jc — 100) es lo que se recibe por cada artículo vendido. a) Dominio de f y dominio de g x$ Intervalos infinitos Utilizando la notación « para representar infinito, entonces (a, a ) =s j a G r / x > a} Gráficamente (a, a )20 y = 11 Luego la solución es (—15, —3) U (9,21) Ejemplo 9 Resuelva |jc+ 1 |< |jc- 3 | sea |* — 3 |= a, luego |je + 1 | < a, entonces —a < * + 1 < a, por lo que -| = ( 3 + l n a 3) e~2* c) Obtener la segunda derivada y de los posibles puntos de inflexión. 0 — 8 x Lógica O B JE TIV O S 15 64 2 0 Capítulo 7 x ( i ) x jc2 X 2 d 22 V Asumiendo que la ecuación de la demanda es lineal: a) Determine la ecuación de la demanda. 0 La expresión general de tales sistemas es: an x + al2y + al3z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a3i * + a32y + a33z = b3 La metodología de la sección anterior se puede aplicar sin cambios sus tanciales a este sistema. -«/*+ V a 4 \/4 + x 2 + (9 — « ) ¿5 - {%/ZTlc + y / 2 ) — a Figura 6.7 / '( * ) Paso 3: Segunda derivada y' = - 2 H 8) - x -2 6) Ejercicios y problemas 2 A, Cambio de base: 26 Aplicar las reglas del álgebra de derivadas para calcular la derivada de cualquier tipo de función. a 21 2 ¿A qué velocidad s cambia el volumen cuando cada arista tiene 1 cm y 10 cms? a6 - 1 2 . V 2 R ESP U ESTA S = V3 or reset password. (Rx/x) » V $150,000 (1.015)12 = $150,000 (1.19562) = $179,343 Al transcurrir t años, el saldo final obtenido es: : jc 6 L - 1 0/ 6 Una forma de obtener este gráfico es “ reflejando” sobre la recta y = x función exponencial, tal como se indicó que se obtenía la inversa de una fui ción, véase Figura 11.5. [20,000(*+ A * ) - 0 .3 ( * + A*)2—1,200,000]— [20,000* - 03*2-1,200,000] ---------------------------------------- i-------------------------- , 2 Ecuaciones que contienen radicales: Ejemplo 3 2 y jx + 4 — X = 1 2 \/x + 4 = 1 + x En este caso, para suprimir : el radical elevamos ambos miembros al cua drado. Halle P(0 < x < Upara la función definida en 8 a). 1 Decide alquilar una máquina para fabricar él mismo los empaques, por lo cual paga $1,200,000 mensua les incluida la materia prima. 160 1 2 df dx 2.23 Ecuación pendiente-intersección, 139 Ecuación punto-pendiente, 139 Ecuación de la recta, 347 Ecuaciones, 57, 99 cuadráticas, 102 equivalentes, 102 lineales, 102 • lineales con dos variables, 116 lineales simultáneas, 121 de segundo grado, 102 Eje mayor, 349 Eliminación, por suma o resta, 121 Elipse, 350 Equivalencia, 23 Excentricidad, 349 Exponente cero y exponentes negativos, 85 Expresiones algebraicas, 57 operaciones con, 60 Factor común, 66 Factorial, 340 Factorización, 65 en solución de ecuaciones cuadráticas, 102 Fracciones algebraicas, 128 Función, 205 gráfica de una, 207 inyectiva, 207 sobreyectiva, 207 Función continua, 256 Función discontinua, 255 Función logaritmo, véase Logaritmo Funciones de densidad, 324 Funciones polinomiales, 136 Funciones trigonométricas, 343 Funciones, 202 álgebra de, 212 especiales, 217 exponenciales, 223 implícitas, 215 logarítmicas, 230 Gauss, método de, 185 Geometría analítica, 346 Grados, conversión a radianes, 343 Gráfica de una función, 281 Gráfica, obtención de una, 282 Resuelva las siguientes integrales: + (3y2)2 m) k2 + 9 + 6ft - x 2 n) 2X3 + Isc2y — 4x y 1 o) Calcule el área bajo la curva f(x) = ac3 entre x =. —4 ± \ /l6 — 4*3*4 = 20,000 — 0.6*, Dado un triángulo ractángulo de catetos x y y con hipotenusa r, com o el de la Figura B2, se definen las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tan• gente, cotangente, secante y cosecante, por las siguientes relaciones: punto de inflexión Consideremos los siguientes casos: a) La tabla de posiciones en un torneo de fútbol. x + 2 0 dk 2. Calcular el limite y verificar la continuidad de funciones. Ax *+ 5 Dominio de g = |¿c I jc € fi f Deci mos que a es mayor que b, y escribiremos a > b, si a — b es positivo; ésto es, 156 249 (120) = $29,880 15.000 + 60 (249) = $29,940 Ejemplo 14 Un vendedor sabe por experiencia que si vende sus revistas a $1,500 cada una, puede vender 800 revistas. b) * 21 = 20,000*- 0 . l ) 2 Un bizcocho es sacado de un hom o con una temperatura inicial de Ta 80°C. V Inicialmente debemos encontrar el punto de corte de las gráficas; para és to igualamos las funciones dadas y resolvemos la ecüación asf obtenida: 3 P3 ( jc 3 — 2 Existe una relación entre la adición y la multiplicación que se utiliza con tinuamente en aritmética y álgebra. + 6 = 5 5 EC U AC IO N ES Teorema del factor. 2. x [£(*)] 11 2 Figura 3.4 Representación de los racionales. Sea la matriz B con los siguientes elementos: [9 ] ; 6 (x + ± y \ 2a ) , * McGraw-Hill. (q “*■r) ] «-► [ (P A ~ r) . , 10 y= 3 l jc3 O sea que el punto de corte o intersección de las dos rectas es el punto (1, 2); gráficamente, X •X 2 + Para tener una idea de la gráfica de la función exponencial, consideremos el caso en que a = 2. (-4 ) * = -8 X El orden de a y b es importante porque (a, ó) es un par ordenado. d) Cuando dos obreros trabajan separadamente, el primero produce 4 unidades/min. Más adelante, un polinomio representará una expresión mate mática con características especiales. _3_ Gráficamente, En Economía, la utilidad depende de la cantidad de unidades vendidas y del precio de cada unidad; por tanto, la utilidad, el número de unidades vendidas y el precio, son variables relacionadas. 3 125 a •d Fundamentos de Matemáticas. se define det A = - [(fln A comienzos del Siglo XX, con su obra Principia Mathematica, Bertrand Russell (1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947) redefinen los conceptos básicos de la aritmética en términos de conceptos lógicos estable ciendo así un fundamento para las matemáticas puras. Un par ordenado (jc, y ) de números reales es un par donde el primer ele mento es x y el segundo elemento es y. Como consecuencia de esta ordena ción, el par (x, y) es distinto del par (y, x), si x¥= y. 4 -1 . 119 — Halle e interprete T' (t = 3) Halle la velocidad promedio entre í = 2 y t = 10 ¿A qué velocidad se está moviendo el objeto al cabo de í = 5 minutos? 8 (yr-vF ) 6 -3 y '= 5x4 —16x3 — — 2x2 Si A es una matriz 2 X 2, tal que A = [ 011 V / sec udu = ln I sec u + tang u I + C 13. \ El teorema del binomio para X Solución: ( 6 .6) El costo total es igual al costo fijo más el costo variable, C T = CF+ CV donde el costo variable depende del número de artículos que se prodúz can (mano de obra, materia prima), mientras que los costos fijos perma necen constantes, independientes de las unidades producidas (arriendo, salario básico, etc.). > 9) y i) y x= X= x x+ 1 Calcule convexa arriba Por tanto, se debe averi guar otro valor para una de las variables. 2. +c Si es positivo la parábola abre hacia arriba, si es nega tivo abre hacia abajo ;(ue'ase Figura 7.4). Este subconjunto está dotado de las siguientes propiedades: R9 fei = -1 .8 3 7 5 fe2 = 1.088 El único valor de fe a considerar es el valor positivo, ya que en el intervalo [—1.8375,1], f(x) sería negativo. eo _7_ 12 X : q ->• 'V p M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 4 Una consecuencia del Teorema 2 es la siguiente: si o > 1, entonces la función es creciente; si a < 1, entonces la función es decreciente. Capítulo 3 1. a) * g) 2. 2998 59.96 —c. Ejemplos x+ 5= 2 sen x — 2 eos x = ^ 3a2 + 5jc — 1 = 3 2x+ 3 = 5 99 Aunque en los capítulos precedentes hemos estudiado muchas formas de solucionar ecuaciones, en ningún caso hemos tratado ecuaciones de grado mayor que dos. dx dy asíntota vertical (* —o) ( V * + Vo") C(x) = costo mano de obra + costo de materia prima C(jc) = x + -|-a: Hay que tener cui dado de no caer en este error porque a-1 no tiene otra interpretación dis tinta a la que se le dio en la definición anterior y, así, —1 no es un expo nente según el significado usual de esta palabra. Haciendo z = —3 en la segunda ecuación podemos encontrar que y = 2; ahora, con y - 2 y z = —3 la pri mera ecuación nos da * = 1. seg V Los anteriores ejemplos nos permiten generalizar la siguiente regla: i) Cuando reducimos términos semejantes que tienen el mismo signo, se suman los coeficientes y se deja el mismo signo (ejemplos 1 y 2). Observe que: 1. dv f) - — = 9 dt RESPUESTAS Ejemplo 10 Un fabricante produce semanalmente 150 artículos que vende al doble del costo menos $100 pesos. Relgón 3 Igual mente, y/5 + y/2 es el conjugado de y/E— y/E . ( 3 x + y — 2z — 2 = 0 K + Como se observa en la figura anterior la función logaritmo natural es siempi creciente, corta al eje X en 1, tiene como dominio el conjunto de los real» positivos y como codominio los números reales, y es tal que In e = 1 . 2 d) y ’ = X~l 2 " 14 6 9. Las expresiones Lím A *-* 0 Dado que la división es un caso particular de la multiplicación, se cumplen para ésta las leyes de los signos vistas en el producto. 6 T B . vr A estos enun ciados se les llama Proposiciones compuestas. El diámetro min de la base del cono es aproximadamente tres veces la altura. 8 h) 261 2 V3~ 3 2 = * T 12.2 Razón de cambio 8 1. x2 - 9 = (* + 3) (jc — 3) 2. . El promedio es de 3.0. a) $4,290,000 al 3% y $710,000 al 1% b) $ 92,600 216 artículos de $32,000 y 184 artículos de $ 4,500 Cada escritorio tiene un costo de producción de $65,000. d) i i) O M A TE M A TIC A S U N IV E R SITA R IA S h: - 1 2 - M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S (s A 'V q) -*• 'V' r © 60 Un caso especial del teorema anterior se da cuando R (x) = 0; en este caso P(a) = S(x) Q(a), donde decimos que P(x) está factorizando, S(a) y Q(a) son los factores de P(a). ( * - ! ) 243 Una fábrica produce salchichones de dos tipos: cervecero y corriente. Au dx cm de modo que — = 2 —rdt min La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones com puestas para cada uno de los diferentes conectivos. 3*+4 10) Manejar correctamente las proposiciones y conectivos lógicos. (jc — 2) ( * + 1) 5 + (a2i oi2 O = 32 Recuerde que: 1. a* + b = 0 es la forma estándar de una ecuación lineal o de primer grado. _ 3 Introducción 5. El procedimiento a seguir en este caso es llamar x la cantidad dada y a la otra x±k. "-4 + bn ~ f g) h) (A ^ S )n C 5 x c) 2 3 16 Paso 2: Primera derivada ( jc 2 jR2 dy -jdx p 1. é [100 + 50 (t + At) - (f + Af)2 ] [100 + 50f - t3 ] Ai 100 + 50i + 50Af - t2 - 2t At - (At)1 - 100 - 50í + At 82 M A T E M A T I C A S U N I V E R S I T A R I A S 8,6m^seg ¡ 2 = -2 y e R, entonces a-* < 1 para x > 0 cr* > 1 para x < 0 7 1 2 Como no hay factores comunes, no es posible simplificar. Observe que el segmento comprendido entre dos enteros consecutivos es siempre de la misma longitud. 2 - 1 1 2. = +3 Usualmentev^se escribe como \/a7omitiendo el índice del radical. 1 21 Aunque podemos utilizar nueva mente la división sintética con el polinomio 2 x2 + I x + 3, por ser este cuadrático, usaremos la fórmula para encontrar las raíces, dado que éste es un proceso más rápido y sencillo. 5 ± VT3 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS 111 -3 10. Ejemplo 5 Sea 10.8 f f Propiedad distributiva - 3000 p + 10 Q Existe un x, tal que x + 5 = 1 2 3. x = -------— — 25 = —— = 5 5 Observe que la recta corta al eje X en el p u n to b x = — — es la solución de la ecuación m x + 6 = 0 m Lím f(x) existe, y 3. f(c) = Lím f(x) x-+ c 7-6-5 -------------------3-2-1 WebPDF G. ING. El logaritmo de un cociente: an a * e = (a+ e ) + (a X e) = a, entonces a + e + ae Pero si aumenta el precio de cada revista en $300 pesos deja de vender 50 revistas. jc ECUACIONES B = Cuando trabajan juntos producen 15 unidades/min., pero el rendimiento de cada Uno es solámente las tres cuartas partes del que tienen cuando trabajan por separado. + — + 6 Determinar cuándo una relación es función. 5l y4 53 y 6 1 jc B= 0. Ajc [(* + V 1 s Como = v/j?" En muchas ocasiones el valor de determinada cantidad depende del valor de otra; el ingreso, por ejemplo, depende del precio y de la cantidad de uni dades demandadas; el área de un círculo depende dél valordelradio,etc. 24. Si el signo de agrupación está precedido de un signo más (+ ) todos los los términos dentro del signo de agrupación se les cambia el signo. Primero, se suma 5 a ambos lados para obtener 2x — 5 + 5 = x + 6 + 5 2x = x + 11 Después restamos x a lado y lado y se obtiene 2x — x = x — x + 11 x = 11 Por consiguiente el conjunto solución es S = |11> 2x —(Unix + 21+ c Al observar la figura podemos diferenciar tres casos: 1. V a) Es claro que en el intervalo [0,1], f(x) - 2x es mayor que cero. 360.000 (2) _ 3 * 240.000 = x costo mano de obra X 3.01 1 ~ 332 ¿Es siempre verdadero que a * b = b * al [2jc2 ]= Capítulo 6 47 1. a) 36Con el ánimo de facilitar la solución de la inecuación f ' ( x) > 0, es mejor no can celar el factor x + 2 en esta expresión. verifique que AXB 4= BXA 2. (—125)(64)~1a:'3 Au V f , x 3 + . V -3 f) 2.1 bml 2 1_ f Como f está definida en dos formas diferentes, justo en el punto x = 2 debemos determinar el límite con base en los límites laterales. Solución: a) (/■+ g) (x) = f ( x ) + g{x) = (x2 + 1 ) + ( * - 5 ) = x2 + x —4 ( f + g) (2) = 22 + 2 - 4 = 2 b) (g — f) (x) = g(x) — f(x) = ( * - 5 ) - ( * 2 + 1) t en donde (a&, yo ) es un punto por donde pasa la recta y m es la pendiente, nos permite encontrar fácil y rápidamente la ecuación de una recta. y = 0 + 3 jc 2 3 11,200 + 0.12(11,200) = 11,200 + 1344 = 12,544 reescribiendo Ct obtenemos: £ l0 ,0 0 0 + X- 9 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 10. Puesto que la gráfica de una función ,constante es siempre una línea recta horizontal con pendiente cero, entonces la derivada (que mide la pendiente de una función (curva) en un punto) de una función constan te debe ser cero. » /•> L 3, —2, 3 2 Las proposiciones se representan por las letras minúsculas p, q, r . McGraw-Hill.! x+ Se dan a continuación varios métodos para resolver tales sistemas. 2 ) 4 Ejemplo 2 _____ En las expresiones 3xy; —y/x + 1; 3z5, el signo, el coeficiente y la parte variable son: signo coeficiente parte variable + — + X Características generales Cambios de un siglo a otro. 3. = 3r2s2 + s4 ) (s2 - 2s + 6) —3a3y + 6a2y 2 + ay3 Observe que a medida que crecen los valores de x , las imágenes crecen tam bién. Los signos de agrupación más empleados son: ( ) Paréntesis [ ] Paréntesis angular o corchetes { } Llaves Ejemplo 3 x + 2y — (3jc+ y) ( x - 2 y ) {x + 2y) Para suprimir signos de agrupación se debe tener en cuenta: 1. 2______________ La pendiente de una recta indica el grado de “ inclinación” de la recta, y formalmente se define así: cambio en y Ay m = pendiente = -------------------- =-------cambio en x Ax luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre Y y X . ((0,5)4) 2 •/x + 1 + V 2x — 3 Como el rango es el conjunto de los reales positivos, unimos los puntos. h) a Utilizar la solución de ecuaciones para resolver problemas de aplicación. - .y -50 - 1 + (-8 ) 2 + (-2 ) ( - j ) Ejemplo 16 Dibujar la gráfica de: y = 3* + 2 Preparemos la siguiente tabla de pares (véase Ejemplo 1). 5. IN E C U A C IO N » Un polinomio cuadrático es una expresión de la forma p (* ) = y = ax2 + b x + c , con a # 0. Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. El concepto moderno de función es el resultado del esfuerzo de muchos matemáticos de los Siglos XVII y XVIII, quienes llegaron a la conclusión de que distintos fenómenos de la vida real podían representarse por ciertos m o delos matemáticos denominados funciones. 6) Efectúelasoperacionesindicadas: 4 7 a) 2 » a+ ■ 36+ 3 6- 2a 2 b) 5 a a—6 3* _ ** c) jc2+ 2x+ 1 ¿c2+ 4jc+ 4 3* 2 2 d) — — — - + tf+1 X x—1 e) Racionalice el denominador: Va~+ \fb 24 ■V* vx 2 4. 4.7 ¿Cuál es el incremento en la utilidad? .... 1 /cn i. [ \/2 + 12.7 La regla de la cadena La regla 12.1 para una potencia, se utiliza cuando la base sea x, com o en y = jc x2 1 d) y = ~ T ~ ~ i < °-r ) b) Con el eje y, y ( x = 0) = 0 luego el punto de corte es (0,0). f e INFORMÁTICA + MATEMÁTICAS Si a es un número real, a El arreglo 80,000 100,000 Ejemplo 15 Halle las raíces de P(x) ~ x4 — x 3 — 6x* + 4x + 8 com o a„ = 1, por el corolario las raíces de P(x) deben ser enteros y además factores de 8. dx = 2 i) ‘-4 + 0 Ejemplo 14 Calcule Lím *■ Por ejemplo, tomando w = h(x), entonces d — [uvw] dx a l r Ú fj 2 r= l Para todo número real a, a X 0 = 0 Teorema 3 150 [jc+ 1] Para encontrar la ecuación de la recta que es tangente a una curva en un pun to dado, necesitaremos encontrar la pendiente de dicha tangente. _ Inecuaciones de la forma \x I > a Consideremos el caso particular |x \> 1. Matriz identidad: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1. Cálculo con geometría analítica. y Calcule h) ( - 2 ) - 2 2. 4 Q0 = 3,297.44 dx 306 A continuación figuran distintas fórmulas para encontrar las integrales (antiderivadas) de algunas funciones: a) Nuevamente es claro que en el intervalo [1, fe], f(x) = 8x + 3 > 0, luego b) fe debe satisfacer la siguiente condición: 3* = e2 (a, b) -* (a — 6) 8 2 = En los ejemplos aplicaremos el teorema para obtener las raíces racionales de un polinomio siempre y cuando éstas existan. 144 d) Se dice que B es una matriz diagonal. 22. a) WebCap tulo 1 Matrices y determinantes 1.1. b) R = xp Ya que en este caso lo que nos preguntan es el precio, debemos escribir la ecuación de demanda en términos de p , y luego remplazaría en la ecuación de ingreso, así: p = 1,400 — 40* 4 0 * = 1,400— p x _ 1,400 - p 40 entonces, R = xp 2 yif={¿ela:>0 2. 12.9 0 248 220 Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a*; con o > 0 y j c G R 2. 1 131 (3) (2) - (0) (1) 2 2 T. Lim x->0 ¿Cuál es la temperatura del medio ambiente? Introducir las estructuras algebraicas básicas. secante 9 Represente sobre una misma recta numérica los siguientes números: a) 9 52 3^ - i ___________— Una ecuación lineal de una variable tiene la forma corriente de: ax + b = 0 donde a y b son números reales y a =£ 0. Gil -----2 6- “; R E S P U E S TA S 68 Figura 8.1 Intervalo abierto. f) c) si f) 3 - - i - 4. jc dz = z— dt .-1 En nuestro caso, jc3 2B = b 21 Lím (3 * + 2) * -►3 1 Concluimos que el método para resolver inecuaciones es muy semejante al empleado para resolver ecuaciones. \/jc — 2 Ejemplos C = [—1 0 1 —1 de orden 1X6 i JC4 f(x) d x = 1 a f 1 2 -9 3 d) ; Figura 8.9 |x |> 1. V F ( V 2 + ^ 3 " + VF1 APLICACIONES DE LA DERIVADA . En el lenguaje diario es usual encontrar expresiones com o: — Si no llueve voy a cine — Viajaré a Cali o a Medellín — 3X2=6y9X5#40 Todos los anteriores enunciados están conformados por dos proposicio nes imidas mediante unos símbolos denominados conectivos. WebInforme de seguimiento de la educación en el mundo, 2020: Inclusión y educación: todos y todas sin excepción cantidad subradical 258 1.41 1.58 1.71 7 1 1 a Como puntos de inflexión -y - a Figura 8.4 Intervalo abierto a la derecha. = ax + y Figura 12.4 Diferentes discontinuidades para f. M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S x —2 2V27 - 2 x si x > 0 y/1? V 6 + V9Ó+ 3 ^ 6 Ejemplo: y/2 y 2 + \/xy En la expresión anterior y/Yy2 y y/xy son los términos de la expresión a tiene inverso si a ^ —1 . kamn _ x= 141 C mínimo = 4 ( 4. + 6x2 — 7 x —■1 1 entre S(x) ~ x — 3 Calcule la expresión dada, sin usar tablas ni calculadora: a) ln e 3 b) ln sfe c) eln 5 2 ln 3 d) e 2 ln 3 ln 2 — 2 In 5 e) e,32,n22lnS » 1.4142 Resuelva los siguientes problemas a) El producto de dos números positivos es 54. v 'T 0 (A, B) -*■ (A n B) Ejemplo 13 Grafique f(x) = y = V 3C+ 2 Empezaremos por establecer el dominio de la función. (- 1’ t ) 6 39 75 x6 — —xs + 30jc 3 —^t-jc2 + 18x c 13 En este caso, la anterior desigualdad se puede representar por las siguien tes desigualdades: Luego el producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo (diferencia de los cua drados). (—3 > x 6 9 < •*) y - 2 1 < - * < 1 5 (j c < X~l Observe que el valor absoluto se indica escribiendo el número entre barras. Una observación del gráfico anterior nos permite afirmar, sin embargo, que si x toma valores cercanos a 2 pero mayores que 2, f(x) toma valores grandes y positivos y si toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, f(x) toma valores grandes pero negativos, situación que se presenta de la siguiente manera: Lím x-+2* f ( ) 4 Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Como resultado se vendieron 6,250 jabo nes en la ciudad A y 6,500 en la ciudad B. 6. | < jc+ 1 < | * — 3| , Arquitectura. Rf = R - { 1} IRRACIONALES 1 x~ ñ x+ 5 2*3 + Resumen a 1 En la ecuación (6.10) es claro que a medidú ^ue aumenta él preció, baja el número de artículos que se demandan del miaño, mientras que en la ecua ción (6.11) ocurre lo contrario; a medida que él precio aumenta, el número de artículos que se ofrecen en el mercado también aumenta. Larson-Hostetler. -1 De esta última ecuación resulta z = —3. 2 e) - 1 7 |< 6 2 , 12 x + 7 |< 4 implica que —4 < 2 x + 7 < 4 luego —11 < 2 x < —3; así, Y (1990) = 10n els* , 10. + 3. Lím X Conectivos lógicos. x 3 — 2 * + 3 y de g(ac) = x 3 + 3 Utilizando la definición de derivada, calcule y' para cada una de las si guientes funciones: — AC 6 Una solución de P(x, y ) = 0 es el conjuntó S formado por lós pares orde nados (*, y) qüe verifican la ecuación. b) Si a > 0 y a =£ 1, entonces loga x - b si, y solamente si, ab = x a) Observe que: 8 ^3 21 du dx 3.33 4 En los siguientes teoremas, se enumera una lista de las propiedades de las funciones continuas: Teorema 3 Si f y g son funciones continuas en c, entonces: 1. g) 1975 &m) ••• an En una fábrica se producen dos artículos diferentes que se venden a $3,200 y $4,500, respectivamente. 8 + (—8) (1) Funciones exponenciales y logarítmicas O B JE TIV O S Si a G R, entonces se cumple una, y sólo una, de las siguientes proposiciones: i) a > 0, ii) —a > 0, iii) a = 0 5. x — y - ^ 41 a) 13 330 { ± 1, ± 3 , ± 9 } a) Si a > 1, V Vector fila: Se denomina así a una matriz A de orden IX n y en forma general se escribe: A = [ « „ al2 a ,3 aj 4 . 18. a) Ine3 = 3 b) In y/e = % _ =5 c) ñ A-B WebFundamento de Matemáticas Generales/ Segundo Javier Caicedo Z, Héctor Jairo Portilla.-San Juan de Pasto: Editorial Universidad de Nariño, 2020. b) AC = C(x + A*) - C(*) = c(12,000) - c (10,000) = 1,200,000 + 0 .1(12,000)2 - [ 12,000,000 + 0.1 (10,000)2] Ac = $4,400,000 El incremento es de $4,400,000 c) 0 0 1 0 A = Paso 2: Por la figura: Ejemplo 11 - 4 2 1 2 i) dx 2 192 GMHttMmttMHttM O -■ i1 0 1 Figura 8.10 |x | < 1. 2 +— 11 se define como la medida del ángulo en radianes, y se dice que el ángulo mis de — radianes. 1 = - 8.46 9 + s/Wi CAPITULO Un problema frecuente en matemáticas es encontrar la solución de una ecuación dada. - • Resuelva las siguientes ecuaciones, a) x 2 + 5* + 6 = 0 Caso 2: Donde una cantidad es igual a tantas veces otra. 2x — 3 — abierta a la izquierda 303 1 . Para calcular A ' 1 utilizamos la siguiente disposición: “ «u a 21 - a 31 J VTI X2 Si hacemos k = 100— r 8. a) R(x) = 1260 b) R(x) = 3 r»/ , = c), R(x) La producción diaria de un empleado que ha estado en el trabajo t sema nas viene dada por una función de la forma Q(f) = 40 — A e~ kt. Df = R - { - 1}, Rf = R - { 0 } W 00 a22 + b 22 ••• a 2 1 0 0 C) 2 - v ^ X* d) T T v En muchas situaciones prácticas nos encontramos con desigualdades como las siguientes: 3 « + 5 < * — 7 ó 2o2 — 4 * + 9 < 0 A estas desigualdades las llamamos inecuaciones. 7. Este orden es el que sigue un computador en la realización de operaciones de este tipo. o Ecuaciones O B JE T IV O S f = luego, = am~n A+ B = . (2 * + 5) _ (3 * + 2) = 1 ( 3 * — 1) (5 * + 2) 15 X •X (5.18) Construir tablas de verdad. -1 6 “J 4 M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S « 4 C) x =£ 0 y 2 — y, Sean f y g dos funciones, tales que Lím jc-»- *71 ••• a2n '» ( 11. a; *>(M)= fÍ3> , 15}, |3,5},0} Y Ejemplo 8 123 2x+ y + ------ En esta sección desarrollaremos una metodolo gía basada en ciertas propiedades de las funciones y sus derivadas, para reali zar en forma correcta la gráfica de una función dada. ~ ^ / l 6 x 2y -2 1 — 4 Equipo B 115 x 3 — 3x2 + 2x - 0 x ( x 3 - 3 x + 2) = 0 jc( x Halle las ecuaciones de tales rectas y represéntelas gráfica mente para comprobar el resultado. f) I e3x dx 'o — 4 [g(x)]2 =a 3. El incremento en los costos es de $300,000. P O LIN O M IO S Y F U N C IO N E S P O L IN O M IA L E S 8. a) nos permite concluir que cuando x se acerca a 2 f(x) no tiende a un único vaLím x2 + 2x+ 1 no exislor (véase gráfica), por lo que concluimos que —--------------xte. El conjunto de las parejas ordenadas que cumplen la re lación es: {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5,10)} . Realice la gráfica de y = —----------- . = y^ = x* Pi : Paso 5: Regiones de crecimiento: máximos y mínimos Como el punto crítico x = —2 es un punto de inflexión, entonces la gráfi ca no tiene ni máximos ni mínimos. i) Observe que en la última casilla los valores obtenidos son todos verdade ros. v f f f = du | x | ^ I x | iy i “ iyi Ejemplos = xn 127 3+2 1. — 14a:+ 3) 3 1 Los números — , — y —1, se pueden obtener como cocientes de los fac2 5 tores de a0 entre los factores de an, así: Factores de ao = { Factores de an - { 1 -1 yfa+ \fb ) (2\/a— V b ) + c) Solucionar ecuaciones en dos variables. Ejemplo 1 La ecuación c(x) = 50,000 + 1500* determina el costo al producir * unida des. tang $ = ° Teorema 2: Sean f y g dos funciones, tales que Lím f(a) = A y Lím g(x) = B, entonces: x -*■ a xy a 1. | ENTEROS NEGATIVOS 24a2x y 2 - 3 6 * V = 12xy2 (2a2 - 3 # y 2) 120.000 = — costo materia prima Caso 3: Donde una cantidad es igual a una cantidad dada más o menos algo. (2+ 2 V 2 V 3 + 3 ) - 5 f , la matriz D es el vector columna de orden 3X 1 EXPONENTES V R A D ICA LES 213 estoes f~ l 1/ ( 8 )] = h , = Lim 2x + Ax + 2 Ax ->-0 1_ 1* T 2 _ La adición y la multiplicación son operaciones binarias asociativas en R. 2. — 5 I x I — 13 jc2 + 20 jc+ 288 13JC2 + 52jc 72 jc+ 288 —72 jc— 288 0 luego 3JC3 ll 275 (2, _ 3j_ _ L ) —1 _ 3 X 3 !? 3 No es difícil verificar que si n es un número par, a" es positivo para cual quier valor de o, o # 0; luego\/a^para n par, existe15 si, y solamente si, a > 0. Un comerciante ha comprado varias cajas de Cierto vino importado. = >0 De manera similar, calculamos la velocidad promedio V al iniciar la ter cera sección, sólo que además, obtuvimos la velocidad instantánea al calcu lar el límite de licuando Ai -*■ 0, así: Lím f . du En estos casos necesitamos transformar la ecuación original en una ecuación equivalente, utilizando las propiedades (P1 y P2) y las operaciones descritas anterior mente. d) { ± 1 , ± 2 } , entonces las posibles raíces son: y -R (* )= X’ P El costo de almacenaje de los materiales en bruto es directamente proporcional al tamaño dé cada cargamento, mientras que el costo total de pedido anual es inversamente proporcional al tamaño del cargáméhto. Producto por un número positivo Si a, b y c son números reales tales que a > b y c > 0, entonces ac > be; ésto es, si una desigualdad se multiplica por un número positivo el sentido de la desigualdad se mantiene. 0 0 La relación entre antiderivadas de una función y la integral, puede escribirse de la siguiente manera: f(x)dx = F(x) + c, si, y solamente si, F'(x) = f(x) clínicas para operar la vista, autorización sanitaria digesa, bebidas para una cafetería, municipalidad distrital de guadalupe, relaciones estequiometricas mol masa, clasificación de la constitución política del perú, reserva de nombre sunarp costo 2022, la gastronomía peruana en el mundo, fundamentos de matemáticas y estadística, closet sale pink chick, efectos del cambio climático en madre de dios, terrenos en venta en chiclayo, 20 argumentos en contra de la eutanasia, consecuencias del derretimiento de glaciares, consulta soat por placa la positiva, mcdonald's bellavista, principales autores y teóricos del diseño curricular, luciana sismondi edad, municipalidad de trujillo licencia de moto, beneficios de la calistenia en el trabajo, preguntas para hacerle a una army con respuestas, neurodesarrollo infantil pdf, requisitos para uber conductor, proceso cas virtual n 0095 2022, foro sol, harry styles, ejemplos de trabajo colegiado 2020, cuántos distritos tiene coronel portillo, casacas gamarra hombre, sacsayhuaman arquitectura, evaluación regional de aprendizajes educación primaria 2022, pro tesis uac derecho 2022, dónde vive el colibrí maravilloso, web of science universidad continental, acta de inspección sanitaria a restaurantes 2019, síntomas normales después de un aborto espontáneo, vulnerabilidad de software, una mujer con vph puede tener hijos, cuanto esta pagando alianza vs melgar, diplomados en educación unmsm, significado de la reincorporación de tacna, cuotas sin intereses interbank claro, venta extrajudicial garantía mobiliaria, como quitar lluvia ácida del coche, constancia de créditos extracurriculares unfv, regidores de la municipalidad provincial de espinar, la cuadra de salvador carta precios, personalidad según el conductismo pdf, resonancia magnética en rodillas, tipos de oratoria ejemplos, clases de natación campo de marte, adopción de schnauzer lima, receta torta tres leches para 20 personas, teclado redragon software, osce sanciones administrativas, para que sirve el mata todo líquido, como ser rescatista de animales, consecuencias de la inseguridad en méxico, trabajos en casa de lunes a viernes sin experiencia, valores militares perú, felipe jorge rodríguez, reglamento del tribunal del servicio civil pdf, la roche posay bloqueador toque seco, trabajo en sedapal ayudante, sulfato ferroso y ácido fólico es lo mismo, régimen de propiedad horizontal, tipos de responsabilidades administrativas, horario de atención colegio de ingenieros arequipa, tercio superior unsa 2020, altozano departamentos arequipa, estudio de huesos y articulaciones, 10 cosas que hace un ingeniero industrial, sesiones de música para inicial, trabajo para arquitectos en graña y montero, suscripciones crehana, reglamento de la ley servir 30057, alicorp convocatoria 2023, como saber a que parroquia pertenezco, que vitaminas tomar a los 40 años para mujeres,
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